Question

已知雙曲線E：的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由雙曲線E： ，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F(xiàn)（﹣6，0）．
又圓C過(guò)原點(diǎn)，所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16．   
（Ⅱ）由題意，設(shè)G（﹣5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得 ，
所以FG的斜率為 ，F(xiàn)G的方程為 ．
所以C（﹣4，0）到FG的距離為 ，
直線FG被圓C截得的弦長(zhǎng)為 
（Ⅲ）設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由 ，
得 
整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點(diǎn)可知，
解得：s=﹣12，t=0．
所以在平面上存在一定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（﹣12，0）．