Question

已知數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=an-

1

(2n+1)(2n-1)

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

3n

an

，數列{b_n}的前n項和S_n，求證S_n≥6．

Answer 1

分析：（1）將a1=an+1=an-

1

(2n+1)(2n-1)

，移向并裂項，得出an-an-1=-

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n-3

) 利用累加法求數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，bn=2(2n-1)•3n，利用錯位相消法求出S_n，再證S_n≥6．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an+1=an-

1

(2n+1)(2n-1)

，
∴an-an-1=-

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n-3

)，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₂-a₁）+a₁=

1

2

[(

1

2n-1

-

1

2n-3

)+(

1

2n-3

-

1

2n-5

)+…+(

1

3

-1)]+

1

2

=

1

2

(

1

2n-1

-1)+

1

2

=

1

2(2n-1)

．
（2）由（1）知，bn=2(2n-1)•3n，
Sn=2×[1×3+3×32+…+(2n-1)×3n]
3Sn=2×[1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1]，
兩式相減得-2Sn=2×[3+2×32+3×32+…2×3n-(2n-1)×3n+1]
=2×[3+

18(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）×3ⁿ⁺¹]，
化簡得Sn=6+2(n-1)•3n+1，
∴S_n≥6．

點評：本題考查數列通項公式求解，數列求和，考查裂項法，錯位相消法在數列中的應用．屬于常規(guī)題目．