Question

14．若一個(gè)三角形兩內(nèi)角α、β滿足2α+β=π，則y=cosβ-6sinα的范圍為（-5，-1）．

Answer 1

分析 先由：2α+β=π，結(jié)合配方法將y=cos（π-2α）-6siα轉(zhuǎn)化為：y=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，再令t=sinα∈（0，1），用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：∵一個(gè)三角形兩內(nèi)角α、β滿足2α+β=π，∴α、β均大于零，∴2α＜π，∴α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
則y=cosβ-6sinα=cos（π-2α）-6sinα
=-cos2α-6sinα=2sin²α-6sinα-1=2（sinα-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，
令t=sinα，根據(jù)α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得t∈（0，1），則y=2${（t-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{11}{2}$，
∴當(dāng)t=0時(shí)，y=-1；當(dāng)t=1時(shí)，y=-5，且函數(shù)y在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴y∈（-5，-1），
故答案為：（-5，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查角的變換及倍角公式在轉(zhuǎn)化函數(shù)中的應(yīng)用，一般來(lái)講考查函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求解，要特別注意α的范圍，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．