Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x--alnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，記過點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線斜率為k．問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）假設(shè)存在a，使得k=2-a，根據(jù)（I）利用韋達(dá)定理求出直線斜率為k，根據(jù)（I）函數(shù)的單調(diào)性，推出矛盾，即可解決問題．
解答：解：（I）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=1+，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①當(dāng)-2≤a≤2時，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜-2時，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
③當(dāng)a＞2時，△＞0，g（x）=0的兩根為x₁=，x₂=，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＞0；當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞x₂時，f′（x）＞0；
故f（x）分別在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（I）知，a＞2．
因為f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+-a（lnx₁-lnx₂），
所以k==1+-a，
又由（I）知，x₁x₂=1．于是
k=2-a，
若存在a，使得k=2-a，則=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即   （*）
再由（I）知，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而x₂＞1，
所以＞1-1-2ln1=0，這與（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
點評：此題是個難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，對方程f'（x）=0有無實根，有實根時，根是否在定義域內(nèi)和根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，其中問題（II）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．