Question

9．設(shè)定點(diǎn)A（0，1），常數(shù)m＞2，動(dòng)點(diǎn)M（x，y），設(shè)$\overrightarrow p=（{x+m，y}）$，$\overrightarrow q=（{x-m，y}）$，且$|{\overrightarrow p}|-|{\overrightarrow q}|=4$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線L：$y=\frac{1}{2}x-3$與點(diǎn)M的軌跡交于B，C兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的表達(dá)式，可推斷出點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0）的距離之差4，根據(jù)雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)c和a，求得b，則其方程可得．
（2）設(shè)將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求得m值，從而解決問題．

解答 解：（1）由題意，$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=4＜2m，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以（-m，0），（m，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1（x≥2）；
（2）由直線L：$y=\frac{1}{2}x-3$與點(diǎn)M的軌跡方程，聯(lián)立可得（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12}{{m}^{2}-5}$，x₁x₂=$\frac{-4{m}^{2}-20}{{m}^{2}-5}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{5}{4}$x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=$\frac{9}{2}$，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3
檢驗(yàn)m=3時(shí)x₁+x₂=-3＜0，所以不存在m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．