Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

（1）求曲線在 p（1，0）處的切線方程
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（3）證明f（x）≤

x-1

x

在定義域內(nèi)恒成立．（　�。�

Answer 1

分析：（1）欲求在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0以及導(dǎo)數(shù)大于0，求出x的范圍，寫出區(qū)間即為單調(diào)區(qū)間；
（3）利用分析法，要證f（x）≤

x-1

x

在定義域內(nèi)恒成立，只需證lnx-x+1≤0在（0，+∞） 上恒成立，研究函數(shù)g（x）=lnx-x+1（x＞0）的單調(diào)性可證得結(jié)論．

解答：解：（1）f′(x)=

1-lnx

x2

，k=f′(1)=1，
所以切線方程為y-0=（x-1），即x-y-1=0…（4分）
（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）遞增區(qū)間：（0，e）…（6分）
f'（x）＜0得x＞e，遞減區(qū)間：（e，+∞） …（8分）
（3）要證f（x）≤

x-1

x

在定義域內(nèi)恒成立
只需證xf（x）-x+1≤0在（0，+∞） 上恒成立，
只需證lnx-x+1≤0在（0，+∞） 上恒成立，
令g（x）=lnx-x+1（x＞0），由g'（x）=

1

x

-1=0得x=1．
則在x=1處有極大值（也是最大值）g（1）=0 …（13分）
∴l(xiāng)nx-x+1≤0
∴f（x）≤

x-1

x

在（0，+∞） 上恒成立．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用分析法進(jìn)行證明不等式，屬于中檔題．