Question

已知f(x)=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

．
（1）求f（x）的定義域、值域；
（2）若f（x）=2，-

π

4

＜x＜

3π

4

，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)公式得f(x)=

1+sin2x

(sin2x+1)2

=

1

1+sin2x

；再利用分母不為0求出定義域，利用正弦函數(shù)的函數(shù)值求出函數(shù)的值域；
（2）由f（x）=2，所以

1

1+sin2x

=2，sin2x=-

1

2

，再利用-

π

4

＜x＜

3π

4

，求出-

π

2

＜2x＜

3π

2

，兩則相結(jié)合即可求出結(jié)果．

解答：解：f(x)=

1+sin2x

(sin2x+1)2

=

1

1+sin2x

（4分）
（1）因?yàn)?+sin2x≠0所以sin2x≠-1，2x≠2kπ-

π

2

（k∈Z），x≠kπ-

π

4

（k?Z）．
又0＜1+sin2x≤2，所以f(x)≥

1

2

．
所以定義域?yàn)閧x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}，值域?yàn)椋簕y|y≥

1

2

}（4分）
（2）因?yàn)閒（x）=2，所以

1

1+sin2x

=2，sin2x=-

1

2

因?yàn)?span id="nph38dk" class="MathJye">-

π

4

＜x＜

3π

4

所以-

π

2

＜2x＜

3π

2

所以2x=-

π

6

或2x=

7π

6

所以x=-

π

12

或x=

7π

12

（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用以及正弦函數(shù)的定義域和值域和利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求值．在求函數(shù)定義域時(shí)，如果原題中帶分母，一定注意分母不為0．