Question

11．函數(shù)f（x）=（log₂x）²-log₂x²+3，當(dāng)x∈[1，4]時，f（x）的最大值為m，最小值為n
（1）若角α的始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過點P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）設(shè)$g（x）=mcos（nx+\frac{π}{m}）-m$，求g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x則t∈[0，2]此時函數(shù)可能化為y=t²-2t+3
由y=t²-2t+3是開口朝上，對稱軸為x=1的拋物線，可得m=3，n=2
由三解函數(shù)定義有$sinα+cosα=\frac{m+n}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$；
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-3$，令$θ=2x+\frac{π}{3}$，
則$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$，$cosθ∈[-1，\frac{1}{2}]$，即可得g（x）的值域．

解答 解：（1）令t=log₂x則t∈[0，2]此時函數(shù)可能化為y=t²-2t+3
∵y=t²-2t+3是開口朝上，對稱軸為x=1的拋物線，
∴當(dāng)t=1時，y_min=2；
當(dāng)t=0或2時，y_max=3，
∴m=3，n=2…（3分）
由三解函數(shù)定義有$sinα+cosα=\frac{m+n}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}=\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$…（6分）
（2）$g（x）=3cos（2x+\frac{π}{3}）-3$
令$θ=2x+\frac{π}{3}$，則$θ∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$，∴$cosθ∈[-1，\frac{1}{2}]$，
∴g（x）的值域為[-6，-$\frac{3}{2}$]…（12分）

點評 本題考查了換元法求值域、三角函數(shù)值域，屬于中檔題．