已知數(shù){an}滿足a1=1,an=2an-1+1(n≥2)
①求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.
②求an的表達式.
③若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求Sn
分析:①題目給出了數(shù)列的首項及遞推式,求解通項公式時,首先把遞推式變形,變?yōu)槲覀兪煜さ臄?shù)列,求出新數(shù)列的通項公式后再求原數(shù)列的通項,對于an+1=pan+q型的遞推式,兩邊加上一個常數(shù),一般能夠構(gòu)造成等比數(shù)列{an+x}.本題an=2an-1+1兩邊加上常數(shù)1,構(gòu)造成等比數(shù)列{an+1}
②由①,求出數(shù)列{an+1}的通項公式,移向變形得出an的表達式.
③由②應得出an=2n-1.分組后分別運用等比、等差數(shù)列求和公式即可求得Sn
解答:解:①由an=2an-1+1,兩邊加上常數(shù)1,可得an+1=2an-1+2=2(an-1+1),
故可得
an+1
an-1+1
=2,故數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列,
②數(shù)列{an+1}的首項為:a1+1=2,由①可得數(shù)列{an+1}的通項公式為
an+1=2×2n-1,所以an=2n-1.
③Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(21+22+…+2n)-n
=
2(1-2n)
1-2
-n
=2n+1-2-n.
點評:本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式,考查等比、等差數(shù)列的通項公式及求和公式.對于an+1=pan+q型的遞推式,一般能夠造成{an+x}型的等比數(shù)列,屬中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)

(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N+,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求{an}的通項公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a n+an+1=
1
2
(n∈N+)
,a 1=-
1
2
,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S2013=
 

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年山東省聊城市莘縣高二(上)期中數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知數(shù)列{an}滿足a,且對任意n∈N*,都有
(1)求證:數(shù)列{}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:

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