過點(diǎn)P（4，2）作相互垂直的直線l1和l2，使得l1與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，l2與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，若直線AB平分四邊形OAPB的面積，求直線AB的方程．
分析：設(shè)A（a，0）、B（0，b）．得到直線AB，由題知PA⊥PB即直線MA與直線MB的斜率乘積為-1，得到a與b的關(guān)系式；又因為四邊形OAPB的面積被直線AB平分得到M到直線AB與O到直線AB的距離相等得到a與b的關(guān)系式，兩者聯(lián)立求出a和b即可得到直線AB的方程．
解答：解：由題意，設(shè)A（a，0）、B（0，b）．則直線AB方程為
x
a
+
y
b
=1（a＞0，b＞0），
∵，PA⊥PB，∴
2-0
4-a
×
2-b
4-0
=-1，化簡得b=10-2a．
∵b＞0，∴0＜a＜5．直線AB的一般式方程為bx+ay-ab=0
∴點(diǎn)P（4，2）到直線AB的距離為d1=
|4b+2a-ab|
a2+b2
．
又∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為d2=
|-ab|
a2+b2
，
∵四邊形OAPB的面積被直線AB平分，∴d1=d2，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得
a=4
b=2
或
a=
5
2
b=5
，
∴所求直線AB的方程為x+2y-4=0或2x+y-5=0．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生理解兩直線垂直的能力，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式的是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1：x2+y2+D1x+8y-8=0，圓C2：x2+y2+D2x-4y-2=0．
（1）若D1=2，D2=-4，求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線l1的方程；
（2）在（1）的條件下，已知P（-3，m）是直線l1上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線與圓C1、圓C2相切，切點(diǎn)為A、B，求證：|PA|=|PB|；
（3）將圓C1、圓C2的方程相減得一直線l2：（D1-D2）x+12y-6=0．Q是直線l2上，且在圓C1、圓C2外部的任意一點(diǎn)．過點(diǎn)Q分別作直線QM、QN與圓C1、圓C2相切，切點(diǎn)為M、N，試探究|QM|與|QN|的關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+（y-4）2=1，直線l：3x+4y-6=0：
（1）圓C與直線l的位置關(guān)系為
相離
相離
；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l：3x+4y-6=0上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B，記四邊形PACB的面積是f（p）．則f（p）的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省期中題 題型：解答題

拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)M（0，-2）作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足=（-4，-12）。
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）當(dāng)拋物線C上一動點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動時，求△ABP的面積的最大值；
（3）在拋物線C上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出；若不存在，請說明理由。

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