Question

已知F₁、F₂是雙曲線（a＞0，b＞0）與橢圓的共同焦點，若點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是

1. A.
   x
2. B.
   
3. C.
   x
4. D.
   

Answer 1

B
分析：先利用雙曲線（a＞0，b＞0）與橢圓的共同焦點，求得a²+b²=4，再利用點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形，求得交點坐標(biāo)，從而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程
解答：不妨設(shè)P是兩曲線在第一象限的交點，P（x，y）
由題意，橢圓的焦點為（±2，0）
∵雙曲線（a＞0，b＞0），與橢圓的共同焦點
∴a²+b²=4①
∵點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵橢圓的左準(zhǔn)線方程為：
∴
∴
∵P在橢圓上
∴
∵P在雙曲線上
∴②
由①②得：
∴b²=3，a²=1
∴
∴雙曲線方程為：
∴雙曲線的漸近線方程是
故選B．
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義的運用，屬于中檔題．