已知數(shù)列{an}滿足條件：a1=1，an+1=2an+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令cn=，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，證明Tn＜1．
【答案】分析：（1）由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只要證明是一個非零的常數(shù)即可；
（2）根據(jù)（1）中證明的結(jié)論，求出數(shù)列{an}的通項公式，從而求得數(shù)列{cn}的通項公式，再求出其前n項和．
解答：（Ⅰ）證明：由題意得an+1+1=2an+2=2（an+1），
又a1+1=2≠0．
所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（1）知an=2n-1，
故，∴
=．
故Tn＜1．
點評：由數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，是�？贾R點，特別注意新數(shù)列的首項，裂項求和是�？紨�(shù)列求和的方法，并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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