已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為
112
，則a=
-1
-1
．
分析：由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為
1
12
，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可．
解答：解：由圖知方程f（x）=0有兩個相等的實根x1=x2=0，于是b=0，
∴f（x）=-x2（x-a），有∫a0（x3-ax2）dx=（
1
4
x4-
1
3
ax3）|a0=0-
a4
4
+
a4
3
=
a4
12
=
1
12
，
∴a=±1．
函數(shù)f（x）與x軸的交點橫坐標(biāo)一個為0，另一個a，根據(jù)圖形可知a＜0，得a=-1．
故答案為：-1．
點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及定積分的運算法則，同時考查了計算能力和識圖能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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