Question

已知正項等比數(shù){a_n}中，a₁=3，a₃=243，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，則數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和S_n=（　�。�

• A．

  2n

  2n-1

• B．

  2n

  2n+1

• C．

  n

  2n-1

• D．

  n

  2n+1

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的通項公式即可得出公比q，利用對數(shù)的運算可得b_n，再利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：設正項等比數(shù){a_n}的公比為q，由a₁=3，a₃=243，可得3×q²=243，解得q=9．
∴an=a1qn-1=3×9^n-1=3^2n-1．
∴b_n=log₃a_n=log332n-1=2n-1．
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
故選D．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算、“裂項求和”等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．