Question

已知函數f（x）=log_a

x-2

x+2

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；  
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數，使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）要使函數有意義，必須要求真數

x-2

x+2

＞0即可；
（2）先看定義域是否關于原點對稱，然后在定義域內判斷等式f（-x）=-f（x）是否成立；
（3）先假設存在這樣的實數a，則使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+log_an，1+log_am]?函數f（x）=loga

x-2

x+2

在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調遞減，且0＜a＜1．
?關于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不相等的實數解．?

△=(2a-1)2-8a＞0 g(2)=8a＞0 - 2a-1 2a ＞2

，解出即可．

解答：解：（1）∵

x-2

x+2

＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函數f（x）的定義域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga

-x-2

-x+2

=loga

x+2

x-2

=-loga

x-2

x+2

=-f（x）．
及由（1）可知：函數f（x）的定義域關于原點對稱．
∴函數f（x）是奇函數．
（3）假設存在這樣的實數a，則由m＜n，log_am及loga

m-2

m+2

由意義，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴l(xiāng)og_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=

x-2

x+2

，則t=1-

4

x+2

在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調遞增，
∴函數f（x）=loga

x-2

x+2

在區(qū)間[m，n]上單調遞減．
∴

f(m)=loga m-2 m+2 =1+logam f(n)=loga n-2 n+2 =1+logan

，
∴m，n是方程loga

x-2

x+2

=1+logax的兩個大于2的根．方程可化為

x-2

x+2

=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述問題?關于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不相等的實數解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
則有

△=(2a-1)2-8a＞0 g(2)=8a＞0 - 2a-1 2a ＞2

，解得

a＞ 3+2 2 2 或a＜ 3-2 2 2 a＞0 0＜a＜ 1 6

．

解得0＜a＜

3-2 2

2

．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜

3-2 2

2

．
故存在這樣的實數a，且a的取值范圍為(0，

3-2 2

2

)．

點評：正確理解對數函數類型的自變量必須使真數大于0，掌握判斷函數的奇偶性的方法，及利用函數的單調性把要解決的問題轉化為二次函數有兩個大于某個正數的兩個零點的問題是解決問題的關鍵．