Question

14．若函數(shù)f（x）=|ax-2|+lnx-$\frac{1}{x}$，（a≥2）在（0，1]上沒有零點．則實數(shù)a的取值范圍是[2，3）．

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)g（x）=|ax-2|，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx的圖象在（0，1]無交點，再通過分類討論和數(shù)形結(jié)合得出a的范圍．

解答 解：根據(jù)題意，記g（x）=|ax-2|，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx，
則f（x）=g（x）-h（x），根據(jù)題意需對a進行討論，
①當a=2，x∈（0，1]時，g（x）=2-2x，此時，
g（x）＜h（x）恒成立，即f（x）＜0在（0，1]恒成立，
所以，f（x）在（0，1]內(nèi)無零點，符合題意，
②當a＞2，所以$\frac{2}{a}$∈（0，1），
因此，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+2，x∈（0，\frac{2}{a}]}\\{ax-2，x∈（\frac{2}{a}，1]}\end{array}\right.$，
函數(shù)g（x）先減后增，如右圖，
當x∈（0，1]時，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx單調(diào)遞減，所以h（x）_min=h（1）=1，
要使f（x）在（0，1]上無零點，則只需h（x）＞g（x）恒成立，
再結(jié)合函數(shù)圖象，只需滿足條件h（1）＞g（1）即可，
所以，1＞a-2，解得a＜3，
綜合①②討論，實數(shù)a的取值范圍為[2，3），
故答案為：[2，3）．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點的判斷，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及分段函數(shù)的求解，屬于中檔題．