Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，（x∈R）．
（1）若對(duì)任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a，求a的取值范圍；
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{3}$在區(qū)間[-2π，4π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式，根據(jù)題意，x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）_min≥a．再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范圍．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{3}$在區(qū)間[-2π，4π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
若對(duì)任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a，
則只需 f（x）_min≥a即可．
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時(shí)，
f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 a≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
然后再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）=sinx的圖象．
令g（x）-$\frac{1}{3}$=0，求得sinx=$\frac{1}{3}$，
求函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{3}$在區(qū)間[-2π，4π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和．
由圖可知，sinx=$\frac{1}{3}$ 在區(qū)間[-2π，4π]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性有 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3π}{2}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{5}{+x}_{6}}{2}$=$\frac{5π}{2}$，
從而所有零點(diǎn)和為：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點(diǎn)，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．