Question

13．以橢圓的右焦點F₂為圓心作一個圓，使此圓過橢圓的中心，交橢圓于點M、N，若直線MF₁（F₁為橢圓左焦點）是圓F₂的切線，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意思可得：點P是切點，因此PF₂=c并且PF₁⊥PF₂，可得∠PF₁F₂=30°，可知|PF₁|=$\sqrt{3}$c．根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-c．求得a，由離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)F₂為橢圓的右焦點
由題意可得：圓與橢圓交于P，并且直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點）是該圓的切線，
∴點P是切點，
∴PF₂=c，PF₁⊥PF₂．
又∵F₁F₂=2c，
∴∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=$\sqrt{3}$c．
根據(jù)橢圓的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a-c．
∴2a-c=$\sqrt{3}$c，即a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故選C．

點評 本題考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，勾股定理及離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．