Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b）為常數(shù)且a≠0）在x=1處取得極值．
（I） 當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II） 若f（x）在（0，e]上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導函數(shù)的解析式，進而根據(jù)x=1是f（x）的一個極值點f′（1）=0，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)a=1求出b值；可得函數(shù)導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）對函數(shù)求導，寫出函數(shù)的導函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于a的方程求得結(jié)果．
解答：解：（I）因為f（x）=lnx+ax²+bx所以f′（x）=+2ax+b，…（2分）
因為函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx在x=1處取得極值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
當a=1時，b=-3，f′（x）=，
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

…（5分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（1，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）…（6分）
（II）因為f′（x）=
令f′（x）=0，x₁=1，x₂=…（7分）
因為f（x）在 x=1處取得極值，所以x₂=≠x₁=1，
當＜0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減
所以f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），
令f（1）=1，解得a=-2…（9分）
當a＞0，x₂=＞0
當＜1時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，（，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=或x=e處取得
而f（）=ln+a（）²-（2a+1）=ln-＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=…（11分）
當1≤＜e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，）上單調(diào)遞減，（，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=，與1＜x₂=＜e矛盾…（12分）
當x₂=≥e時，f（X）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
綜上所述，a=或a=-2．…（13分）
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導函數(shù)的解析式并對其符號進行分析，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．