Question

11．在平面直角坐標系xOy中，動點P到點D（2，3）的距離為4，設(shè)點P的軌跡為C．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點，當k為何值時，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，此時|$\overrightarrow{AB}$|的值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動點P坐標為（x，y），利用兩點間的距離公式列出曲線C的方程即可；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=kx+1的距離d，根據(jù)$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，且兩向量的模為半徑，求出d的值，進而求出k與|$\overrightarrow{AB}$|的值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標為（x，y），
根據(jù)題意得：$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$=4，
整理得：（x-2）²+（y-3）²=16，
則曲線C的方程為（x-2）²+（y-3）²=16；
（Ⅱ）圓心（2，3）到直線y=kx+1的距離d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=r=4，
∴d=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
解得：k=-1，|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$，
則當k=-1時，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{DB}$，此時|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及軌跡方程，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．