Question

已知數(shù)列{a_n}滿足條件：．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題意得a_n+1+1=2（a_n+1），…（3分）
又a₁+1=2≠0． …（4分）
所以數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． …（5分）
（Ⅱ）解：由（1）知即，…（7分）
故
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹…（8分）
錯位相減得-T_n=2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n-1）2ⁿ⁺¹…（9分）
==（3-2n）2ⁿ⁺¹-6…（11分）
從而得T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6…（12分）
分析：（Ⅰ）由題意得a_n+1+1=2（a_n+1）可證數(shù)列{a_n+1}是以等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）可求即，，結(jié)合數(shù)列的特點，故考慮利用錯位相減求和
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n+1=pa_n+q構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項，錯位相減求和的方法要求掌握，并且還要知道其方法適用的數(shù)列類型