Question

已知c＞0且c≠1，設命題P：復數(shù)z=1+ci（i為虛數(shù)單位），|z|≤2；命題q：函數(shù)y=（2c-1）c^x在R上為減函數(shù)；命題r：不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R．
（1）若p∧q為真命題，求c的范圍；
（2）若q∨r為真，￢r為真，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：不等式的解法及應用,簡易邏輯,數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）先根據(jù)復數(shù)模的求解公式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出命題p，q下的c的取值范圍，再根據(jù)p∧q為真命題得p真q真，所以求命題p，q下c的范圍的交集即可；
（2）根據(jù)一元二次不等式的解和判別式的關系求出命題r下的c的范圍，由q∨r為真，￢r為真得q真r假，所以求q真r假時c的取值范圍的交集即可．

解答： 解：（1）命題p：|z|=

1+c2

≤2，∴0＜c≤

3

，且c≠1；
命題q：

2c-1＞0 0＜c＜1

，或

2c-1＜0 c＞1

，解得

1

2

＜c＜1；
若p∧q為真命題，則p真q真，∴

0＜c≤ 3 ，且c≠1 1 2 ＜c＜1

，∴

1

2

＜c＜1；
∴c的范圍為(

1

2

，1)；
（2）命題r：將原不等式變成：x²+（1-4c）x+4c²-1＞0，該不等式的解集為R；
∴（1-4c）²-4（4c²-1）＜0，解得c＞

5

8

，且c≠1；
若q∨r為真，￢r為真，則q真r假，∴

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

，解得：

1

2

＜c≤

5

8

；
∴c的取值范圍為(

1

2

，

5

8

]．

點評：考查復數(shù)模的計算公式，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，p∧q，q∨r，￢r的真假和p，q，r真假的關系，一元二次不等式的解和判別式△的關系．