已知函數(shù)f(x)=
sin4x+cos4x+sin2xcos2x
2-sin2x
-
1-cosx
4sin2
x
2

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
(2)當(dāng)x∈(
π
6
,
π
2
)
時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
(3)若
a
=(sinα,1),
b
=(cosα,1)
并且
a
b
,求f(α)的值.
分析:先把f(x)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、二倍角公式等進(jìn)行化簡(jiǎn),
(1)要判斷函數(shù)的奇偶性,方法是在函數(shù)的定義域內(nèi)求出f(-x)如果等于-f(x)即為奇函數(shù);如果等于f(x)即為偶函數(shù);
(2)由x的范圍求出2x的范圍,由正弦函數(shù)的圖象得到sin2x范圍即可得到f(x)的值域;
(3)由兩個(gè)向量平行得到sinα-cosα=0,求出α的值,代入f(x)化簡(jiǎn)可得f(α)的值即可.
解答:解:f(x)=-
(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x
2-sin2x
-
2sin2
x
2
4sin2
x
2
=
1-
1
4
sin22x
2-sin2x
-
1
2

=
(1-
1
2
sin2x)(1+
1
2
sin2x)
2(1-
1
2
sin2x)
-
1
2
=
1
4
sin2x

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠2kπ,k∈Z},f(-x)=-f(x)所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)當(dāng)x∈(
π
6
,
π
2
)
時(shí),2x∈(
π
3
,π),函數(shù)中sin2x的最大值為1,最小值為0且取不到,所以f(x)的最大值為
1
4
,最小值為0,所以f(x)的值域?yàn)?span id="zcbhu5l" class="MathJye">(0,
1
4
];
(3)由
a
b
得sinα-cosα=0,
2
2
2
sinα-
2
2
cosα)=
2
sin(α-
π
4
)=0,
所以α-
π
4
=kπ,解得α=kπ+
π
4

∴f(α)=
1
4
sin2α=
1
4
sin(2kπ+
π
2
)=
1
4
sin
π
2
=
1
4
點(diǎn)評(píng):此題是一道綜合題,考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及三角函數(shù)中的恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,靈活運(yùn)用平面向量積的坐標(biāo)表示.要求學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對(duì)于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x

(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M,若存在實(shí)數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個(gè)上界.已知e是無(wú)窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)a的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案