Question

9．下列命題，正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①若tanA•tanB＞1，則△ABC一定是鈍角三角形；
②若sin²A+sin²B=sin²C，則△ABC一定是直角三角形；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC一定是等邊三角形；
④在銳角△ABC中，一定有sinA＞cosB．
⑤在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則△ABC一定是等邊三角形．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C為銳角；
②⑤利用正弦定理，再用和角公式得出結(jié)論；
④根據(jù)|cosX|≤1，不等式可轉(zhuǎn)換為cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：①若tanA•tanB＞1，
∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B為銳角，
∵sinAsinB＞cosAcosB，
∴cos（A+B）＜0，
∴A+B為鈍角，故C為銳角，
則△ABC一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤；
②若sin²A+sin²B=sin²C，由正弦定理可得：a²+b²=c²，則△ABC一定是直角三角形，故正確；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵|cosX|≤1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1
∵A、B、C＜180°
∴A-B=B-C=C-A=0
∴A=B=C=60°
∴△ABC是等邊三角形 則△ABC一定是等邊三角形，故正確；
④在銳角△ABC中，
∴A+B＞90°，
∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B），
∴sinA＞cosB，故正確；
⑤在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
∵$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（B-A）=0，
∴B=A，同理可得A=C，
∴△ABC一定是等邊三角形，故正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查了三角函數(shù)的和就角公式，正弦定理的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)題中條件的分析，劃歸思想的應(yīng)用．