Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x（k∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+f′（x），若對${?^{\;}}^{\;}k∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$及?x∈[0，1]有g(shù)（x）≥λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（x-k）e^x，求導(dǎo)f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，求得x=k-1，令f′（x）＜0，解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的極值；
（2）當(dāng)k-1≤1時，f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（1），當(dāng)k-1≥2時，f（x）在[1，2]單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f（2），當(dāng)1＜k-1＜2時，則x=k-1時，f（x）取最小值，最小值為：-e^k-1；
（3）由g（x）=（2x-2k+1）e^x，求導(dǎo)g′（x）=（2x-2k+3）e^x，當(dāng)g′（x）＜0，解得：x＜k-$\frac{3}{2}$，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)g′（x）＞0，解得：x＞k-$\frac{3}{2}$，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由題意可知g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等價于g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，對?k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=（x-k）e^x（k∈R），求導(dǎo)f′（x）=（x-k）e^x+e^x=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=k-1，
當(dāng)x＜k-1時，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞k-1時，f′（x）＞0，

x	（-∞，k-1）	k-1	（k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-e-k-1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，k-1），極小值為-e^k-1，無極大值；
（2）當(dāng)k-1≤1時，即k≤2時，f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（1）=（1-k）e；
當(dāng)k-1≥2時，即k≥3時，f（x）在[1，2]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時，f（x）的最小值為f（2）=（2-k）e³；
當(dāng)1＜k-1＜2時，解得：2＜k＜3時，
∴f（x）在[1，k-1]單調(diào)遞減，在[k-1，2]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=k-1時，f（x）取最小值，最小值為：-e^k-1；
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x-k）e^x+（x-k+1）e^x=（2x-2k+1）e^x，
求導(dǎo)g′（x）=（2x-2k+1）e^x+2e^x=（2x-2k+3）e^x，
令g′（0）=0，2x-2k+3=0，x=k-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x＜k-$\frac{3}{2}$時，g′（x）＜0，
當(dāng)x＞k-$\frac{3}{2}$時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，k-$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減，在（k-$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=k-$\frac{3}{2}$，g（x）取最小值，最小值為：g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，
∵k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，即k-$\frac{3}{2}$∈[0，1]，
∴?x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，
∴g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等價于g（k-$\frac{3}{2}$）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，
由-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$≥λ，對?k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]恒成立，
∴λ≤（-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$）最小值，
令h（k）=-2e${\;}^{k-\frac{3}{2}}$，k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)h（k）在k∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k=$\frac{5}{2}$時，h（k）取最小值，h（$\frac{5}{2}$）=-2e，
∴λ≤-2e．
∴實數(shù)λ的取值范圍（-∞，-2e）．

點評 本題考查利用到時研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于難題．