【題目】已知橢圓是橢圓內(nèi)任一點.設(shè)經(jīng)過的兩條不同直線分別于橢圓交于點記的斜率分別為

（1）當(dāng)經(jīng)過橢圓右焦點且為中點時,求:

①橢圓的標準方程;

②四邊形面積的取值范圍.

（2）當(dāng)時,若點重合于點,且.求證:直線過定點.

【答案】(1) ①;②;(2)見解析.

【解析】

(1) ①由方程可求出焦點坐標,進而可求的斜率.設(shè)出,將 代入到橢圓方程中去,將所得方程相減整理, ,結(jié)合中點坐標和的斜率可求.

②由分析知, 當(dāng)過點與的直線同時和橢圓相切時四邊形 的面積最大. 設(shè)切線方程為，與橢圓聯(lián)立整理后令，即可求出切點，進而可求切點到直線的距離，由弦長公式求出的長度，進而可求四邊形的面積.

(2)設(shè)出的方程,與橢圓聯(lián)立,得到橫坐標的關(guān)系,由,可求出,進而可知.因此可證過定點.

(1) ①解:由題意知,.即橢圓的焦點坐標為.

則.設(shè)

則 兩式相減整理得

是 的中點, 解得

故橢圓的方程為.

②解:由題意知,當(dāng)過點與的直線同時和橢圓相切時四邊形 的面積最大.

由知，切線斜率也為.設(shè)切線方程為，與橢圓聯(lián)立得

，整理得，則

，解得.

則可求切點不妨設(shè)為 ，此時兩點到 的距離

設(shè)，聯(lián)立 ，整理得，則

由韋達定理知.

故.

(2)證明:當(dāng)時,橢圓的方程為.

直線 的斜率存在且不為0,直線不過

設(shè)直線的方程為, 此時

聯(lián)立得,整理得

則.

即 整理得

解得 此時

故直線 恒過.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝|2x＋4|＋|x－3|.

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)<8；

(2)對于正實數(shù)a，b，函數(shù)g(x)＝f(x)－3a－4b只有一個零點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，1和是的兩個不同零點，且

且，求的值；

（Ⅱ）若對任意, 都存在（ 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得

成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，，為的中點.

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近幾年，我國鮮切花產(chǎn)業(yè)得到了快速發(fā)展，相關(guān)部門制定了鮮切花產(chǎn)品行業(yè)等級標準，統(tǒng)一使用綜合指標值進行衡量，如下表所示.某花卉生產(chǎn)基地準備購進一套新型的生產(chǎn)線，現(xiàn)進行設(shè)備試用，分別從新舊兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中選取30個樣品進行等級評定，整理成如圖所示的莖葉圖.

綜合指標

質(zhì)量等級

三級

二級

一級

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖比較兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的綜合指標值的平均值及分散程度（直接給出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）若從等級為三級的樣品中隨機選取3個進行生產(chǎn)流程調(diào)查，其中來自新型生產(chǎn)線的樣品個數(shù)為，求的分布列；

（Ⅲ）根據(jù)該花卉生產(chǎn)基地的生產(chǎn)記錄，原有生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的單件平均利潤為4元，產(chǎn)品的銷售率（某等級產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值）及產(chǎn)品售價如下表：

三級花

二級花

一級花

銷售率

單件售價

12元

16元

20元

預(yù)計該新型生產(chǎn)線加工的鮮切花單件產(chǎn)品的成本為span>10元，日產(chǎn)量3000件.因為鮮切花產(chǎn)品的保鮮特點，未售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價的50%全部處理完.如果僅從單件產(chǎn)品利潤的角度考慮，該生產(chǎn)基地是否需要引進該新型生產(chǎn)線？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個知識答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機抽出3道題進行答題，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續(xù)答下一題…，直到答錯，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續(xù)答第2題，如果第2題也答對，繼續(xù)答第3題，直到他答錯則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計答完20道題游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是，如果某位同學(xué)有機會答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯（不答視為答錯）則減5分，甲乙答題相互獨立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請預(yù)測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．

（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，點M、E分別是PA、PD的中點

(1)求證：CE//平面BMD

(2)點Q為線段BP中點，求直線PA與平面CEQ所成角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案