Question

在橢圓

x2

2

+y2=1上，對不同于頂點的任意三個點M，A，B，存在銳角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．則直線OA與OB的斜率之積為

-

1

2

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，可得x，y的坐標表達式，進而根據(jù)M在橢圓上，可得直線OA與OB的斜率之積．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1①，

x22

2

+y22=1②．
又設M（x，y），∵

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，
∴

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在橢圓上，∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+（y₁cosθ+y₂sinθ）²=1．
整理得（

x12

2

+y12）cos²θ+（

x22

2

+y22）sin²θ+2（

x1x2

2

+y₁y₂）cosθsinθ=1．
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得

x1x2

2

+y₁y₂=0．
所以，k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

故答案為：-

1

2

點評：本題考查向量知識的運用，考查運算能力及探究能力，屬于中檔題．