Question

設(shè)A₁、A₂為橢圓的左右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于A₁、A₂的點(diǎn)P，使得，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由，可得 y²=ax-x²＞0，故  0＜x＜a，代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，，結(jié)合圖形，求出橢圓的離心率e的范圍．
解答：解：A₁（-a，0），A₂（a，0），設(shè)P（x，y），則=（-x，-y），=（a-x，-y），
∵，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如圖：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足 0＜-＜a，即 0＜＜a，∴＜1，
＞，又  0＜＜1，∴＜＜1，故選 D．
 
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，一元二次方程在一個(gè)區(qū)間上有實(shí)數(shù)根的條件，
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．