Question

下列命題：
①若與共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使=λ；
②空間中，向量、、共面，則它們所在直線也共面；
③P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC垂心．
④若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)．，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC內(nèi)部．
上述命題中正確的命題是    ．

Answer 1

【答案】分析：應(yīng)用平行向量與共線向量，向量的共線定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)向量共線的定義和性質(zhì)對(duì)①②④命題逐一進(jìn)行判斷，對(duì)于③，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行證明，即可得到答案．
解答：解：①中的這一條件缺少，于是①錯(cuò)．
對(duì)于②，因?yàn)橄蛄靠梢匀我馄揭�，可知②錯(cuò)；
③當(dāng)PA，PB，PC兩兩互相垂直時(shí)，則PA⊥平面PBC，則PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，則PO⊥BC，進(jìn)而B(niǎo)C⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可證BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③對(duì)；
④中A、B、C、M四點(diǎn)共面．
等式兩邊同加，
則（+）+（+）+（+）=，
即++=，=-（+）則、、共面，
又M是三個(gè)有向線段的公共點(diǎn)，
則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC內(nèi)部．
故④是真命題．
故答案為：③④
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用．在解答向量問(wèn)題時(shí)，向量共線（平行）是最常見(jiàn)的情況之一，我們一定要注意向量平行分為三種情況：①兩個(gè)非零向量同向；②兩個(gè)非零向量反向；③零向量與任何一個(gè)向量都共線（平行）．其中第③種情況，最容易被忽視．