Question

求函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

在x∈(0，

π

2

)上的值域是

[2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：通過同分化簡函數(shù)的表達式，利用基本不等式，以及正弦函數(shù)的有界性，求出函數(shù)的值域．

解答：解：函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

≥

2 sinxcosx

sinxcosx

=

2

sinxcosx

=

2 2

sin2x

，當且僅當sinx=cosx時等號成立，
∵x∈(0，

π

2

)
∴2x∈（0，π），當2x=

π

2

時函數(shù)取得最小值，
即：

2 2

sin2x

≥2

2

，
∴函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

的值域為：[2

2

，+∞)，
故答案為：[2

2

，+∞)．

點評：本題是中檔題，考查基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．