Question

10．已知函數(shù)f （x）是定義在實數(shù)集R上不恒為零的偶函數(shù)，且f （-1）=0，若對任意的實數(shù)x都有xf （x+1）=（1+x） f （x）成立，則$\sum_{k-0}^{2010}f（\frac{k}{2}）$ 的值是（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 從xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得，再由依此求解．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），得-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$），
又f（x）為偶函數(shù)，
所以f（$\frac{1}{2}$）=0，
則$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$），所以f（$\frac{3}{2}$）=0，以此類推，可得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=…=f（$\frac{2009}{2}$）=0，
f（1）=f（-1）=0，
所以1•f（2）=2f（1），所以f（2）=0，
由2f（3）=3f（2），得f（3）=0，以此類推，可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
由0•f（1）=1•f（0），得f（0）=0，
所以$\sum _{k-0}^{2010}f（\frac{k}{2}）$=f（0）+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（$\frac{3}{2}$）+…+f（$\frac{2009}{2}$）+f（1005）=0，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．