Question

統(tǒng)計部門在一次調(diào)查統(tǒng)計中得知，某行業(yè)在2010年末有員工30萬人，假定每年退休工為上一年員工數(shù)的a%，且每年新增員工m萬人（m為常數(shù)），記2010年末員工人數(shù)為b₁，以后各年末的員工人數(shù)分別為b₂，b₃，b₄…
（I）寫出b₂，b₃的表達式及b_n與b_n-1的關(guān)系式；
（II）若a=6，為提高就業(yè)率，且考慮到行業(yè)規(guī)模的制約，m在什么范圍內(nèi)取值時能夠保持員工人數(shù)逐年增加，且員工總數(shù)不超過60萬人．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)每年退休工為上一年員工數(shù)的a%，且每年新增員工m萬人，可求出b₂，b₃的表達式，觀察可得b_n與b_n-1的關(guān)系式；
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m則b_n-=0.94（b_n-1-）（n≥2，n∈N），從而{b_n-}是以30-為首項，0.94為公比的等比數(shù)列，求出b_n的通項公式，當30-＜0時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，可求m的最小值，然后根據(jù)b_n≤60恒成立，將m分離出來可求出m的最大值，從而求m的取值范圍．
解答：解：（I）依題意得：b₂=30（1-a%）+m
b₃=b₂（1-a%）+m=30（1-a%）²+m（1-a%）+m
∴b_n=b_n-1（1-a%）+m
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m
∴b_n-=0.94（b_n-1-）（n≥2，n∈N）
∴{b_n-}是以30-為首項，0.94為公比的等比數(shù)列，
所以b_n-=（30-）×0.94^n-1
即b_n=+（30-）×0.94^n-1（n∈N）
當30-＜0時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，即m＞1.8
又由b_n≤60得：
+（30-）×0.94^n-1≤60
∴m≤=1.8+
又1.8+＞3.6
∴m≤3.6
∴m∈（1.8，3.6]時能夠保持員工人數(shù)逐年增加且員工總數(shù)不超過60萬人．
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及構(gòu)造新數(shù)列等方法和數(shù)列的應用與等比關(guān)系的確定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．