Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)F₁K的中點(diǎn)Q（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)K（2x+1，2y），把K的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡即得線段KF₁的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2．…（2分）
又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1．…（4分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（5分）
焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．…（7分）
（2）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1，y₁=2y．…（11分）
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、線段的中點(diǎn)公式，以及用代入法求軌跡方程．