Question

設f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的函數(shù)，當m，n∈[-1，0）∪（0，1]，且m+n=0時，有f（m）+f（n）=0．
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）當x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+

1

x2

（a為實數(shù)）．則當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，當a＞-1時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷．（2）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．（3）利用單調性的定義或導數(shù)判斷單調性．

解答：解：（1）因為函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以由m+n=0得m=-n，
所以由f（m）+f（n）=0．得f（-n）+f（n）=0，
即f（-n）=-f（n），所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）當x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），則f(-x)=-2ax+

1

x2

，
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f(-x)=-2ax+

1

x2

=-f(x)，
即f(x)=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
（3）當a＞-1時，即f(x)=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
函數(shù)導數(shù)為f′(x)=2a+

2

x3

，
因為a＞-1，x∈（0，1]．
所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，1]上的單調遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性以及奇偶性的應用，考查函數(shù)的綜合性質．