Question

函數(shù)f（x）=x²（x+a）（a∈R）．
（1）若f′（2）=1，求a值及曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），由f′（2）=1可求得a值，然后求得f（2），利用點斜式可求得切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時，由f′（x）=0可求得極值點，進(jìn)而可求極值，然后求出區(qū)間端點處的函數(shù)值，取其中最小者即為最小值；

解答：解：（1）f′（x）=2x（x+a）+x²=3x²+2ax，
由f′（2）=1，得3×2²+2a×2=1，解得a=-

11

4

，
此時f（2）=4×(2-

11

4

)=-3，
所以所求切線方程為：y-（-3）=x-2，即y=x-5；
（2）當(dāng)a=-1時，f（x）=x²（x-1），f′（x）=3x²-2x，
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

，
又f（-1）=-2，f（0）=0，f（

2

3

）=-

4

27

，f（1）=0，
所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-2．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬中檔題，正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與極值、最值的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．