在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos
A
2
=
2
5
5
，bc=5．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．
分析：（I）由二倍角的余弦公式算出cosA=
3
5
，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系算出sinA=
1-cos2A
=
4
5
，根據(jù)三角形的面積公式即可算出△ABC的面積；
（II）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=（b+c）2-2bc（1+cosA）．再代入題中的數(shù)據(jù)加以計算，即可得到邊a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵cos
A
2
=
2
5
5
，
∴cosA=2cos2
A
2
-1=
3
5
．
又∵0＜A＜π，
∴sinA=
1-cos2A
=
4
5
．
∵bc=5，
∴△ABC的面積為S△ABC=
1
2
bcsinA=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的計算，可得cosA=
3
5
．
又∵bc=5且b+c=6，
∴根據(jù)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，
可得a2=（b+c）2-2bc（1+cosA）=62-2×5×（1+
3
5
）=36-16=20．
解得a=2
5
（舍負(fù)）．
點評：本題給出三角形內(nèi)角A一半的余弦與b、c的積，求三角的面積并依此求邊a的長．著重考查了三角形的面積公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和余弦定理等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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