(2013•上海)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標;
(2)求函數(shù)h(x)=log2
2x4-x
 圖象對稱中心的坐標;
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).
分析:(1)先寫出平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù),利用題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心.
(2)設(shè)h(x)=log2
2x
4-x
 的對稱中心為P(a,b),由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù),從而求出a,b的值,即可得出圖象對稱中心的坐標.
(3)此命題是假命題.舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
解答:解:(1)平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,
由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù),由題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標是(1,-2).
(2)設(shè)h(x)=log2
2x
4-x
 的對稱中心為P(a,b),
由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù).
設(shè)f(x)=h(x+a)-b,則f(x)=log2
2(x+a)
4-(x+a)
-b,
即f(x)=log2
2x+2a
4-x-a
-b

由不等式
2x+2a
4-x-a
>0
的解集關(guān)于原點對稱,則-a+(4-a)=0,得a=2.
此時f(x)=log2
2(x+2)
4-(x+2)
-b,x∈(-2,2).
任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,
所以函數(shù)h(x)=log2
2x
4-x
 圖象對稱中心的坐標是(2,1).
(3)此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象,
但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).
修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
點評:本小題主要考查命題的真假判斷與應用,考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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π
6
,則
l
r
=
3
3

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a
=(1,k)
,
b
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a
b
,則實數(shù) k=
-
3
4
-
3
4

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AP
=-2
FA
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