Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁C上一點(diǎn)，且CF=2a．
（1）求證：C₁E∥平面ADF；
（2）試在BB₁上找一點(diǎn)G，使得CG⊥平面ADF；
（3）求三棱錐D-AB₁F的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CE交AD于O，連接FO，由=可證FO∥EC₁，根據(jù)線面平行的判定定理可證
（2）在平面C₁CBB₁內(nèi)，過C作CG⊥DF，交BB₁于G，由AD⊥BC，CC₁⊥AD可證AD⊥平面C₁CBB₁
進(jìn)而可證AD⊥CG，CG⊥DF，從而可證
（3）由題意可得==•AD，可求
解答：證明：（1）∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)
∵E為AB的中點(diǎn)，連接CE交AD于O，連接FO，
∴=
∴FO∥EC₁（2分）
∵FO⊆平面AFD，C₁E?平面AFD（4分）
∴C₁E∥平面AFD（5分）
（2）在平面C₁CBB₁內(nèi)，過C作CG⊥DF，交BB₁于G
在△RtFCD 和△RtCBG中FC=CB，∠CFD=∠BCG
∴Rt△FCD≌Rt△CBG（6分）
而AD⊥BC，CC₁⊥AD且CC₁∩BC=C
∴AD⊥平面C₁CBB₁（8分）
∵CG⊆平面C₁CBB₁
∴AD⊥CG，
∵CG⊥DF，AD∩FD=D
∴CG⊥平面ADF
此時(shí)BG=CD=a（10分）
（3）AD⊥BCC₁B₁
∴==•AD（12分）
=
=（14分）


點(diǎn)評：本題主要考查了直線于平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，利用等體積法求解三棱錐的體積是高考的重點(diǎn)題型，要注意掌握