Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=

1

2

AB，點E是棱AB上一點．且

AE

EB

=λ．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，求λ的值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立坐標(biāo)系，根據(jù)

AE

EB

=λ，求出E(1 ，  

2λ

1+λ

，  0)，證明：

D1E

•

A1D

=(1 ，  

2λ

1+λ

，  -1)•(-1 ，  0 ，  -1) =0，即可得出D₁E⊥A₁D；
（2）求出平面DEC的法向量為

n1

=（0，0，1），平面D₁CE的法向量

n2

的一個解為(2-

2λ

1+λ

，  1 ，  2)，根據(jù)二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，即可求λ的值．

解答： （1）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），
C（0，2，0），A₁（1，0，1），B₁（1，2，1），
C₁（0，2，1），D₁（0，0，1）．
因為

AE

EB

=λ，所以E(1 ，  

2λ

1+λ

，  0)，
于是

D1E

=(1 ，  

2λ

1+λ

，  -1)，  

A1D

=（-1，0，-1）．
所以

D1E

•

A1D

=(1 ，  

2λ

1+λ

，  -1)•(-1 ，  0 ，  -1) =0．
故D₁E⊥A₁D．                                                       …5分
（2）解：因為D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為

n1

=（0，0，1）．
又

CE

=(1 ，  

2λ

1+λ

- 2 ，  0)，

CD1

=（0，-2，1）．
設(shè)平面D₁CE的法向量為

n2

=（x，y，z），
則

n2

•

CE

=x+y(

2λ

1+λ

-2)=0，

n2

•

CD1

=-2y+z=0，
所以向量

n2

的一個解為(2-

2λ

1+λ

，  1 ，  2)．
因為二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，
則

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

2

．
解得λ=±

2 3

3

-1．
又因E是棱AB上的一點，所以λ＞0，
故所求的λ值為

2 3

3

-1．            …10分．

點評：本題考查線線垂直，考查二面角的平面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定向量是關(guān)鍵．