Question

討論下列函數(shù)的單調(diào)性.

(1)f(x)=a^x-a^-x(a＞0且a≠1);

(2)f(x)=log_a(3x²+5x-2)(a＞0且a≠1);

(3)f(x)=(-1＜x＜1,b≠0).

Answer 1

分析：當(dāng)函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論在所難免.不同的函數(shù)結(jié)構(gòu)往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性.

解：(1)函數(shù)定義域?yàn)镽.

f′(x)=a^xlna-a^-x·lna(-x)′=lna(a^x+a^-x).

當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0,a^x+a^-x＞0,∴f′(x)＞0.

∴函數(shù)f(x)在（-∞,+∞）上是增函數(shù).

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0,a^x+a^-x＞0,

∴f′(x)＜0.

∴函數(shù)f(x)在（-∞,+∞）上是減函數(shù).

(2)函數(shù)的定義域是x＞或x＜-2.

f′（x）=·(3x²+5x-2)′=.

①若a＞1,則當(dāng)x＞時(shí)，log_ae＞0,6x+5＞0,(3x-1)(x+2)＞0,

∴f′(x)＞0,

∴函數(shù)f(x)在（，+∞)上是增函數(shù);

當(dāng)x＜-2時(shí)，f′(x)＜0,

∴函數(shù)f(x)在（-∞,-2）上是減函數(shù)

②若0＜a＜1,則當(dāng)x＞時(shí)，f′(x)＜0,

∴函數(shù)f(x)在(,+∞)上是減函數(shù)；

當(dāng)x＜-2時(shí)，f′(x)＞0,

∴函數(shù)f(x)在（-∞,-2)上是增函數(shù).

(3)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

f′(x)=b·

=-.

若b＞0,則f′(x)＜0,函數(shù)f(x）在（0，1）上是減函數(shù)；

若b＜0,則f′(x)＞0,函數(shù)f(x)在（0，1）上是增函數(shù).

又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性.所以當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在（-1，1）上是減函數(shù)，當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在（-1，1）上是增函數(shù).