Question

19．設(shè)A、B為拋物線y²=2px（p＞0）上相異兩點(diǎn)，則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}$的最小值為（　�。�

• A． -4p²
• B． -3p²
• C． -2p²
• D． -p²

Answer 1

分析 設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，分類討論，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，
若直線AB斜率存在，設(shè)為y=k（x-a），聯(lián)立得k²x²-2（ak²+p）x+k²a²=0，
則${x_A}{x_B}={a^2}$，${y_A}{y_B}={k^2}（{x_A}-a）（{x_B}-a）=-2ap$．$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{a^2}-2ap）=4[{（a-p）^2}-{p^2}]≥-4{p^2}$．
若直線不存在，當(dāng)${x_A}={x_B}=a\;，\;\;{y_A}=-{y_B}=\sqrt{2ap}$時(shí)上式也成立．故所求最小值為-4p²．
當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過點(diǎn)（p，0）時(shí)等號成立．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．