Question

已知圓O的方程為（x-1）²+（y+3）²=4．
（Ⅰ）求過點(diǎn)P（2，-1），且與圓O相切的直線l的方程；
（Ⅱ）直線m過點(diǎn)P（2，-l），且與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2

3

，求直線m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：kx-y-2k-1=0，則

|k+3-2k-1|

k2+1

=2，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）由圓半徑r=2，弦長(zhǎng)|AB|=2

3

，知圓心（1，-3）到直線m的距離d=

4-3

=1，由此能求出直線m的方程．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
直線l的方程為x=2，不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：
y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，
圓心（1，-3）到直線l的距離d=r=2，
∴

|k+3-2k-1|

k2+1

=2，
解得k=

4±2 7

3

，
∴直線l的方程為y=

4±2 7

3

（x-2）．
（Ⅱ）設(shè)直線m的方程為y+1=k₁（x-2），即k 1 x-y-2k₁-1=0，
∵圓半徑r=2，弦長(zhǎng)|AB|=2

3

，
∴圓心（1，-3）到直線m的距離d=

4-3

=1，
∴d=

|k1+3-2k1-1|

k12+1

=1，
解得k=

3

4

，∴直線m的方程為3x-4y-10=0．
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為x=2，成立．
∴直線m的方程為3x-4y-10=0或x=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．