Question

已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，f（-1）=2．
（1）求證f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）在[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，
∵對任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上為減函數(shù)．
（1）∵f（x）在R上為減函數(shù)．
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)，
∴3≤f（x）≤f（-3），
∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）f（-1）=4，
f（-3）=f（-1）f（-2）=2×4=8，
當x＞0時，f（x+0）=f（x）•f（0），
∴f（0）=1，則f（1-1）=f（1）•f（-1）=1，
則f（1）=

1

2

，f（2）=f（1）f（1）=

1

4

，
f（3）=f（1）f（2）=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
即f（x）在[-3，3]上的最大值為8，最小值為=

1

8

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，