Question

10．已知f（x）=2|x+1|-2，當(dāng)f（f（x））=mx有四個(gè)解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 求出f（f（x））的解析式，作出y=f（f（x））與y=mx的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷m的范圍．

解答 解：令f（x）≤-1，即2|x+1|-2≤-1，解得-$\frac{3}{2}$≤x≤-$\frac{1}{2}$，
∴f（f（x））=2|f（x）+1|-2=-2f（x）-2-2=-2f（x）-4=-2[2|x+1|-2]-4=-4|x+1|，
令f（x）＞-1，即2|x+1|-2＞-1，解得x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$-\frac{1}{2}$．
∴f（f（x））=2|f（x）+1|-2=2f（x）=4|x+1|-4，
作出y=f（f（x））和y=mx的函數(shù)圖象如圖所示：

∵f（f（x））=mx有四個(gè)解，
∴0＜m＜$\frac{4}{3}$，
故答案為：（0，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，方程根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．