Question

已知⊙O₁的極坐標方程為ρ=4cosθ．點A的極坐標是（2，π）．
（Ⅰ）把⊙O₁的極坐標方程化為直角坐標參數方程，把點A的極坐標化為直角坐標．
（Ⅱ）點M（x，y）在⊙O₁上運動，點P（x，y）是線段AM的中點，求點P運動軌跡的直角坐標方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）將⊙O₁的極坐標方程兩邊者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ，再根據公式ρcosθ=x和ρ²=x²+y²，代入化簡即可得到⊙O₁的直角坐標方程，進而得到⊙O₁的參數方程．最后由極坐標化直角坐標的公式，不難得到點A（2，π）的直角坐標．
（II）根據中點坐標公式和A、M的坐標，算出，再根據點M（x，y）是⊙O₁上的點，代入得到關于x、y二次方程，化簡得x²+y²=1即為點P運動軌跡的直角坐標方程．
解答：解：（I）∴⊙O₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，∴兩邊者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴⊙O₁的直角坐標方程為x²+y²=4x，化成標準方程得（x-2）²+y²=4
令x=2+2cosα，y=2sinα，得⊙O₁的參數方程為（α為參數）
設點A的直角坐標為（m，n）
∵點A的極坐標是（2，π），∴m=2cosπ=-2，n=2sinπ=0
由此可得點A的直角坐標為（-2，0）．
（II）∵A（-2，0），M（x，y），
∴線段AM的中點P（x，y）滿足，可得
∵點M（x，y）在⊙O₁上運動，
∴（x-2）²+y²=4，可得[（2+2x）-2]²+（2y）²=4，化簡得x²+y²=1
由此可得：點P運動軌跡的直角坐標方程為x²+y²=1．
點評：本題給出⊙O₁的極坐標方程，求它的直角坐標方程與參數方程，并依此求動點P的軌跡．著重考查了極坐標方程與直角坐標方程、參數方程的互化和軌跡方程求法的一般步驟等知識，屬于中檔題．