Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2a|，g（x）=|x+a|，a∈R．
（1）令a=1，若存在x使得f（x）-g（x）≥m成立，求m的取值范圍；
（2）若f（x）+g（x）≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知這是一個(gè)存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，令其大于等于m即可解出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由題意，得f（x）+g（x）≥3恒成立，只須3小于等于f（x）+g（x）的最小值即可，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由a=1時(shí)，||x-2|-|x+1||≤|x-2-（x+1）|=5，∴|x-2|-|x+1|∈[-3，3]
∵存在x使得f（x）-g（x）≥m成立，
∴3≥m，即m的取值范圍是m≤3．
（2）∵f（x）+g（x）=|x-2a|+|x+a|≥|x-2a-（x-a）|=|3a|，
若f（x）+g（x）≥3恒成立，
可得|3a|≥3時(shí)不等式恒成立，所以a≥1或a≤-1
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1或a≤-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，著重考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．