Question

【題目】已知橢圓Γ：的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，且A、B分別是其左右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，△PF1F2面積的最大值為4.

（1）求橢圓Γ的方程.

（2）如圖，四邊形ABCD為矩形，設(shè)M為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)MC、MD分別交x軸于E、F，且滿(mǎn)足，求證：AB＝2AD.

Answer 1

【答案】（1）1（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合的關(guān)系，解方程可得所求橢圓方程；

（2）設(shè)，，，令，運(yùn)用直線(xiàn)方程和兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)整理，即可得證.

（1）由題意可得，解得.

所以橢圓的方程為1.

（2）設(shè)，，，令，

由，故的方程為，

直線(xiàn)交軸于，

令，則，

即：.

由，故的方程為，

直線(xiàn)交軸于，

令，則，

即：.

因?yàn)?/span>，

所以.

可得，

即，得.

又因?yàn)?/span>，所以，

可得，即，

因?yàn)?/span>為橢圓上一點(diǎn)，

所以，解得，

所以，即證：.