Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：x²+y²=1 與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；
（2）過(guò)M點(diǎn)作直線l₁與圓相切于點(diǎn)N，設(shè)（2）中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁F₂，求三角形△NF₁F₂面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則
∵橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，根據(jù)橢圓與圓的對(duì)稱性，
則a=1或b=1
當(dāng)a=1時(shí)，c=，b²=a²-c²=，
∴所求橢圓方程為；
當(dāng)b=1時(shí)，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2
∴所求橢圓方程為；
（2）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
N點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若橢圓為，其焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為A（-1，0），B（1，0），
故=，
若橢圓為，其焦點(diǎn)為，
此時(shí)=．
分析：（1）由題意設(shè)出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)（0，1），分長(zhǎng)半軸等于1和短半軸等于1兩種情況求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由平面幾何知識(shí)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出兩個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用三角形的面積公式求三角形△NF₁F₂面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的綜合，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．