Question

已知函數(shù)f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）++（b-3）x．
（1）當(dāng)a＞0且a≠1，f'（1）=0時，試用含a的式子表示b，并討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f'（x）有零點，f'（3）≤，且對函數(shù)定義域內(nèi)一切滿足|x|≥2的實數(shù)x有f'（x）≥0．
①求f（x）的表達(dá)式；
②當(dāng)x∈（-3，2）時，求函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f'（x）的圖象的交點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題考查的是函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)知識的綜合問題．在解答時應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域優(yōu)先原則求出定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)小于或小于零，即可獲得解答．
（2）①由（1）及又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，建立關(guān)于a，b的不等關(guān)系，結(jié)合（i）解得a，b．從而寫出f（x）的表達(dá)式；
②又設(shè)φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）與x軸在（-3，2）的交點，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得出φ（x）與x軸有唯一交點（-2，0），即f（x）與f'（x）的圖象在區(qū)間（-3，2）上的唯一交點坐標(biāo)為（-2，16）為所求．
解答：解：（1）（x＞-3）…（2分）
由f'（1）=0⇒b=-a-1，故0＜a＜1時     
由f'（x）＞0得f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）單調(diào)減區(qū)間是（a，1）
同理a＞1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-3，1），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，a）…（5分）
（2）①由（1）及（i）
又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，
則，
由b²-4a≥0結(jié)合（i），解得b=-4，a=4…（8分）
∴…（9分）
②又設(shè)φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）與x軸在（-3，2）的交點
∵，由-3＜x＜2得 0＜（x+3）²＜25
故φ'（x）＞0，φ（x）在（-3，2）單調(diào)遞增
又φ（-2）=16-16=0，故φ（x）與x軸有唯一交點（-2，0）
即f（x）與f'（x）的圖象在區(qū)間（-3，2）上的唯一交點坐標(biāo)為（-2，16）為所求 …（13分）
點評：此題考查的是函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)知識的綜合問題．在解答過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了定義于優(yōu)先的原則、求導(dǎo)的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．