Question

已知曲線y=ax³-bx（a≠0）上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，且過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB.

（1）試判斷A、B兩點(diǎn)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并說(shuō)明理由.

（2）求出a、b所滿足的條件.

Answer 1

解：（1）由y=ax³-bx,得y′=3ax²-b.?

設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁≠x₂）.??

由題意,過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線平行，

∴3ax₁²-b=3ax₂²-b，即x₁²=x₂²，由于x₁≠x₂,∴x₁=-x₂.?

又∵y₁=ax₁³-bx₁=-ax₂³+bx₂=-（ax₂³-bx₂）=-y₂.?

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（2）由（1）知,直線AB必過(guò)原點(diǎn),?

∴直線AB的斜率k==ax₁²-b.而過(guò)A的切線與直線AB垂直.

∴（3ax₁²-b）·（ax₁²-b）=-1,即3a²x₁⁴-4abx₁²+b²+1=0.?

令x₁²=t,則關(guān)于t的方程3a²t²-4abt+b²+1=0在（0,+∞）上有根.?

此方程有兩正根,其充要條件為:

4a²b²-3a²（1+b²）≥0且＞0,?

∴得ab＞0且 ｜b｜≥a＞0,b≥或a＜0,b≤-.